21. 分散分析と実験計画法

21.1.実験計画法

21.1.1.フィッシャーの3原則^[重要] 21.1.2.ブロック因子 21.1.3.ブロック化 21.1.4.乱塊法 21.1.5.一部実施要因計画 21.1.6.多重比較 21.1.7.交絡、交絡因子、交絡法^[重要]

21.2.一元配置分散分析

21.2.1.群間平方和(BSS)、群内平方和(WSS)、総平方和(TSS)の定義と関係 21.2.2.一元配置分散分析(各水準で観測数が等しい場合)^[重要] 21.2.3.一元配置分散分析表(各水準で観測数が等しい場合)^[重要] 21.2.4.平均平方和の期待値 21.2.5.一元配置分散分析モデルの誤差関数 21.2.6.一元配置分散分析モデルの最尤推定値 21.2.7.一元配置分散分析(各水準で観測数が異なる場合)^[重要] 21.2.8.一元配置分散分析表(各水準で観測数が異なる場合)^[重要] 21.2.9.平均平方和の期待値

21.3.二元配置分散分析

21.3.1.二元配置分散分析(繰り返しなし)^[重要] 21.3.2.二元配置分散分析表(繰り返しなし)^[重要] 21.3.3.平均平方和の期待値 21.3.4.二元配置分散分析モデル(繰り返しなし)の誤差関数 21.3.5.二元配置分散分析モデル(繰り返しなし)の最尤推定値 21.3.6.二元配置分散分析(繰り返しあり)^[重要] 21.3.7.二元配置分散分析表(繰り返しあり)^[重要] 21.3.8.平均平方和の期待値 21.3.9.二元配置分散分析モデル(繰り返しなし)の誤差関数

21.4.共分散分析

21.4.1.共分散分析 21.4.2.共分散分析表(平行の検定) 21.4.3.共分散分析モデルの最尤推定値 21.4.4.共分散分析表(各水準の差の検定)

21.5.回帰の分散分析

21.5.1.単回帰の分散分析^[重要] 21.5.2.単回帰の分散分析表^[重要] 21.5.3.重回帰の分散分析^[重要] 21.5.4.重回帰の分散分析表^[重要]

21.6.直交表(直交配列表)

21.6.1.基礎的事項^[重要] 21.6.2.直交表^[重要] 21.6.3.直交表のモデル^[重要] 21.6.4.直交表の要因の平方和^[重要] 21.6.5.直交表の分散分析表^[重要] 21.6.6.要因の平均平方和の期待値^[重要] 21.6.7.主効果と交互作用の推定値^[重要] 21.6.8.要因と水準の推定値と信頼区間^[重要] 21.6.9.直交表の要因の平方和(4水準法(2水準直交表への割付け)) 21.6.10.直交表(4水準法)の分散分析表 21.6.11.要因の平均平方和の期待値 21.6.12.主効果の推定値 21.6.13.要因と水準の推定値と信頼区間 21.6.14.直交表(3水準)の要因の平方和 21.6.15.直交表(3水準)の分散分析表 21.6.16.要因の平均平方和の期待値 21.6.17.要因の平均平方和の期待値 21.6.18.要因と水準の推定値と信頼区間

21.7.その他

21.7.1.自由度 21.7.2.固定効果 21.7.3.変量効果 21.7.4.二元配置分散分析表(繰り返しあり)の作り方

21.Q.確認問題

21.Q.1.実験計画法 21.Q.2.単回帰 21.Q.3.一元配置実験と二元配置実験 21.Q.4.プーリング

21.1. 実験計画法

更新日 : 2022/02/20

21.1.1. フィッシャーの3原則^[重要]

(1)局所管理
　実験の場を層化して各層内でできるだけ条件を均一にすること。
(2)無作為化
　実験の順序や位置等を無作為に決めること。
(3)繰り返し
　同一条件下の実験を2回以上繰り返すこと。

21.1.2. ブロック因子

応答に影響を与えるが効果には興味のない因子で局所管理で使う。

21.1.3. ブロック化

局所管理して実験実施すること。下記の例で「日」のこと。

21.1.4. 乱塊法

21.1.5. 一部実施要因計画

21.1.6. 多重比較

3群以上の分散分析のこと。

21.1.7. 交絡、交絡因子、交絡法^[重要]

交絡：二つの因子が直交せず混じり合い分離できない状態。
　　　　これらの因子は、お互いが影響し合っている。
交絡因子：交絡している因子のこと。
交絡法：ブロック因子と、重要でない交互作用を交絡させる実験方法。

21.2. 一元配置分散分析

更新日 : 2022/02/13

21.2.1. 群間平方和(BSS)、群内平方和(WSS)、総平方和(TSS)の定義と関係

21.2.2. 一元配置分散分析(各水準で観測数が等しい場合)^[重要]

21.2.3. 一元配置分散分析表(各水準で観測数が等しい場合)^[重要]

21.2.4. 平均平方和の期待値

21.2.5. 一元配置分散分析モデルの誤差関数

21.2.6. 一元配置分散分析モデルの最尤推定値

21.2.7. 一元配置分散分析(各水準で観測数が異なる場合)^[重要]

21.2.8. 一元配置分散分析表(各水準で観測数が異なる場合)^[重要]

21.2.9. 平均平方和の期待値

21.3. 二元配置分散分析

更新日 : 2022/02/13

21.3.1. 二元配置分散分析(繰り返しなし)^[重要]

21.3.2. 二元配置分散分析表(繰り返しなし)^[重要]

21.3.3. 平均平方和の期待値

21.3.4. 二元配置分散分析モデル(繰り返しなし)の誤差関数

21.3.5. 二元配置分散分析モデル(繰り返しなし)の最尤推定値

21.3.6. 二元配置分散分析(繰り返しあり)^[重要]

21.3.7. 二元配置分散分析表(繰り返しあり)^[重要]

21.3.8. 平均平方和の期待値

21.3.9. 二元配置分散分析モデル(繰り返しなし)の誤差関数

21.3.10. 二元配置分散分析モデル(繰り返しなし)の最尤推定値

21.4. 共分散分析

更新日 : 2022/01/08

21.4.1. 共分散分析

21.4.2. 共分散分析表(平行の検定)

21.4.3. 共分散分析モデルの最尤推定値

21.4.4. 共分散分析表(各水準の差の検定)

21.5. 回帰の分散分析

更新日 : 2022/01/08

21.5.1. 単回帰の分散分析^[重要]

21.5.2. 単回帰の分散分析表^[重要]

21.5.3. 重回帰の分散分析^[重要]

21.5.4. 重回帰の分散分析表^[重要]

21.6. 直交表(直交配列表)

更新日 : 2022/02/28

21.6.1. 基礎的事項^[重要]

・直交表は、因子を列に、その因子の水準をその列の値に割付けて、分散分析や点推定、区間推定等により、最適な因子と水準を探し出すための一覧表。

・直交表の因子の2水準を+1、-1としてベクトル列を作成したときに異なる互いの列ベクトルは直交関係にある。

・多数ある要因を絞り込むときに有用。

・自由度が小さいので検定のみに重点を置くのはあまり良くないので、寄与率も併用すると良い。

・直交表の実験は、必ずしもフィッシャーの三原則を満たさない。

21.6.2. 直交表^[重要]

21.6.3. 直交表のモデル^[重要]

21.6.4. 直交表の要因の平方和^[重要]

21.6.5. 直交表の分散分析表^[重要]

21.6.6. 要因の平均平方和の期待値^[重要]

21.6.7. 主効果と交互作用の推定値^[重要]

21.6.8. 要因と水準の推定値と信頼区間^[重要]

21.6.9. 直交表の要因の平方和(4水準法(2水準直交表への割付け))

21.6.10. 直交表(4水準法)の分散分析表

21.6.11. 要因の平均平方和の期待値

21.6.12. 主効果の推定値

21.6.13. 要因と水準の推定値と信頼区間

21.6.14. 直交表(3水準)の要因の平方和

21.6.15. 直交表(3水準)の分散分析表

21.6.16. 要因の平均平方和の期待値

21.6.17. 要因の平均平方和の期待値

21.6.18. 要因と水準の推定値と信頼区間

21.7. その他

更新日 : 2022/02/13

21.7.1. 自由度

21.7.2. 固定効果

21.7.3. 変量効果

21.7.4. 二元配置分散分析表(繰り返しあり)の作り方

21.Q. 確認問題

更新日 : 2022/01/26

21.Q.1. 実験計画法

実験計画法について下記のうち誤っているものを2つ答えよ。

①実験の目的は計画の段階で明確にするべきで、実験することそのものを目的としては意味がない。

②実験で発生する誤差を考慮し、測定値全体の分散を要因効果に対応する分散と、残りの誤差分散に分けて統計処理を行った。

③電気部品が実装された装置の評価を実験室常温で実施するだけでは問題と判断し、恒温槽で温度を変えて低温や高温の評価を行った。

④装置を-20℃で起動し、段階的に0℃、25℃、40℃、60℃まで上げるという温度評価を実施した。

⑤材料A1、A2、A3があり、それらの材料と温度の条件について、強度が一番高くなる組合せを決めるため、温度条件を一定にしA1、A2、A3のうち一番強度が高い材料を選び、温度条件を変えて一番強度が高くなる温度を求める組合せとした。

■解答■
④⑤
■解説■

④温度を低温から高温まで上げることを温度評価とすると、装置起動による時間的変化が温度の効果と混ざり合い分離できなくなる。これを交絡と呼ぶ。交絡を防ぐためには実験順序をランダム化するとよい。

⑤因子と水準の組合せによっては別の組合せの方が高い強度の場合も有り得る。このような組合せの効果を交互作用と呼ぶ。繰返し実験により調べることができる。

21.Q.2. 単回帰

単回帰モデル： $\rm{ \textit{y}_i=\beta_0+\beta_1 \textit{x}_i+\varepsilon_i \left( \varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2)\right) }$
$\rm{\beta_0}$ :切片項、 $\rm{\beta_1}$ :回帰係数、 $\rm{\textit{x}_i}$ :説明変数、 $\rm{\textit{y}_i}$ :目的変数、 $\rm{\varepsilon_i}$ :誤差項
における下記記述について、誤っているものを1つ答えよ。

①ある物質の厚みから重さを単回帰で推定したい場合、厚みを説明変数、重さを目的変数にするとよい。

②客先から入力電圧+1V～+3Vに対して、出力電圧-12V～+12Vの範囲でサンプルサイズ100の入出力電圧のデータを受領した。可視化したところ大よそ直線で相関があったため、単回帰分析を実施して切片項と回帰係数を求めた。
ところが+3Vを入力したら+12.5Vとなったため客先への問合せは必須であると考えた。

③回帰式を用いて一方の特性を推定しようというときは、寄与率は小さいことが前提となる。

■解答■
③
■解説■

②出力電圧は+12Vが上限であり推定結果の+12.5Vは、飽和特性など何らかの条件を設ける可能性があるため、客先への問合せはすることは正しい。

③寄与率は大きいことが前提となる。相関係数の2乗が寄与率のこと。

21.Q.3. 一元配置実験と二元配置実験

一元配置実験と二元配置実験とはどのような実験であるかについて、実験対象の装置について、電圧、温度を要因とし、興味ある品質特性を出力電力として答えよ。

■解答■
　一元配置実験は、出力電力のばらつきに影響する1つの要因である電圧を取上げ、1V、2V、3V等の評価したい水準を設け、各々の水準を複数回ランダムな順序で行う実験のこと。(電圧ではなく温度を取上げてもよい。)
　二元配置実験は、出力電力のばらつきに影響する2つの要因である電圧と温度を取上げ、電圧は1V、2V、3V等、温度は0℃、25℃、40℃、60℃等の評価したい水準を設け、各々の水準を複数回ランダムな順序で行う実験のこと。

21.Q.4. プーリング

プーリングの記述について誤っているものを1つ答えよ。

①交互作用が有意であると判断した場合、交互作用の平方和を誤差の平方和に入れて再度分散分析することがある。この操作をプーリングと呼ぶ。

②プーリングの目的は、検出力を上げることと、推定精度を高めること。

③要因Aと要因Bと交互作用AxBで二元配置の繰返し実験を行い、交互作用AxBを残差へプールする場合、
自由度について、(プーリング前の交互作用AxBの自由度)+(プーリング前の残差の自由度)=(プーリング後の残差の自由度)が成立する。

■解答■
①
■解説■
①交互作用が有意でないと判断した場合、交互作用の平方和を誤差の平方和に入れて再度分散分析することがある。